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%
\parindent=0pt
\begin{document}
\section{2階線形偏微分方程式}
\subsection{標準形}
$n\ (n\ge2)$個の独立変数を$x_i\ (i=1,2,\cdots,n)$とし、$C^2$級の未知関数を$u(x_i, i=1,2,\cdots,n)$とする。2階線形偏微分方程式の一般表示を下に示す。
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij}\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_i B_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+Cu=r(x_1,x_2,\cdots,x_n)
\end{equation}
\subsubsection{分類}
2階線形偏微分方程式は、楕円形、放物形、双曲形の3つのパターンに分類される。行列$A_{ij}$の固有値が総て同符号である場合を楕円形、少なくとも1個の固有値が0である場合を放物形、$m$個の正の固有値と$n-m$個の負の固有値がある場合を双曲形という。$n=2$の場合に具体的に述べると次のようになる。
$x=x_1, y=x_2$としたとき次のように表される。
\begin{eqnarray}
L[u]&\equiv&a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2b\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+e\frac{\partial u}{\partial x}+f\frac{\partial u}{\partial y}+gu\\
L[u]&\equiv&\varphi(x,y)
\end{eqnarray}
\begin{boxnote}
この場合の$A_{ij}$は次のように表される。
\begin{equation}
A_{ij}=\left(
\begin{array}{cc}
a&b\\
b&c
\end{array}\right)
\end{equation}
この場合の固有値は永年方程式$\lambda^2-\mathrm{tr}[A_{ij}]\lambda+\mathrm{det}[A_{ij}]=0$より次のように求めることができる。
$$\frac12\left[1\pm\frac{\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{a+c}\right]$$
固有値の同符号については定数項部分(この場合$\mathrm{det}[A_{ij}]$である)を確認すればいいことは周知である。
\end{boxnote}
このとき$a,b,c,e,f,g$は定数で$a^2+b^2+c^2\not=0$とする。上の方程式は次のように分類される。
\begin{enumerate}[(a)]
\item $b^2-ac<0$のとき楕円形
\item $b^2-ac=0$のとき放物形
\item $b^2-ac>0$のとき双曲形
\end{enumerate}
\subsubsection{一次変換}
ここでは方程式$L[u]=\varphi(x,y)$の標準形を次のように改める。
\begin{equation}
a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+2b\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=q(x,y,u,u_x,u_y)
\end{equation}
次の一次変換を導入する。
\begin{equation}
\xi=\alpha x+y,\hspace{2zw}\eta=\beta x+y\hspace{2zw}(\alpha\not=\beta)
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x}&=&\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial\eta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\eta}=\alpha\frac{\partial}{\partial\xi}+\beta\frac{\partial}{\partial\eta}\\
\frac{\partial}{\partial y}&=&\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\eta}
\end{eqnarray}
を導入すると各偏導関数は次のように改められる。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}&=&\left(\alpha\frac{\partial}{\partial\xi}+\beta\frac{\partial}{\partial\eta}\right)^2 \nonumber\\
&=&\alpha^2\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}+2\alpha\beta\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\eta}+\beta^2\frac{\partial^2}{\partial\eta^2}\\
\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}&=&\left(\alpha\frac{\partial}{\partial\xi}+\beta\frac{\partial}{\partial\eta}\right)\left(\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\eta}\right) \nonumber\\
&=&\alpha\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}+(\alpha+\beta)\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\eta}+\beta\frac{\partial^2}{\partial\eta^2}\\
\frac{\partial^2}{\partial y^2}&=&\left(\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\eta}\right)^2 \nonumber\\
&=&\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}+2\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\eta}+\frac{\partial^2}{\partial\eta^2}
\end{eqnarray}
したがって$v(\xi,\eta)=u(x,y)$としたとき一次変換の結果は次のように表される。
\begin{equation}
a_1\frac{\partial^2 v}{\partial\xi^2}+2b_1\frac{\partial^2 v}{\partial\xi\partial\eta}+c_1\frac{\partial^2 v}{\partial\eta^2}=q_1(\xi,\eta,v,v_\xi,v_\eta)
\end{equation}
ここで$a_1,b_1,c_1$は次に示すとおりである。
\begin{eqnarray*}
a_1&=&a\alpha^2+2b\alpha+c\\
b_1&=&a\alpha\beta+b(\alpha+\beta)+c\\
c_1&=&a\beta^2+2b\beta+c
\end{eqnarray*}
\subsubsection{楕円形の場合}
$\alpha,\beta$の値に二次方程式$at^2+2bt+c=0\ (a\not=0)$の解を当てる。すなわち、$b^2-ac<0$であることからも$\alpha,\beta$は互いに共役な複素数と分かる。同時に以下の内容に帰着する。
\begin{eqnarray}
a_1=c_1=0&,&\hspace{2zw} b_1=2(ac-b^2)/a\not=0\\
2b_1\frac{\partial^2 v}{\partial\xi\partial\eta}&=&q_1(\xi,\eta,v,v_\xi,v_\eta)
\end{eqnarray}
このとき次の一次変換を導入する。
\begin{equation}
\sigma=\xi+\eta,\hspace{2zw}\tau=i(\xi-\eta)
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial\xi}&=&\frac{\partial\sigma}{\partial\xi}\frac{\partial}{\partial\sigma}+\frac{\partial\tau}{\partial\xi}\frac{\partial}{\partial\tau}=\frac{\partial}{\partial\sigma}+i\frac{\partial}{\partial\tau}\\
\frac{\partial}{\partial\eta}&=&\frac{\partial}{\partial\sigma}-i\frac{\partial}{\partial\tau}\\
\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\eta}&=&\frac{\partial^2}{\partial\sigma^2}+\frac{\partial^2}{\partial\tau^2}
\end{eqnarray}
したがって、$w(\sigma,\tau)=v(\xi,\eta)$としたとき一次変換の結果は次のように表される。
\begin{equation}
\frac{\partial^2w}{\partial\sigma^2}+\frac{\partial^2w}{\partial\tau^2}=q_2(\sigma,\tau,w,w_\sigma,w_\tau)
\end{equation}
すなわち楕円形の一般系は次のように表すことができる。
\begin{equation}
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=p(x,y,u,u_x,u_y)
\end{equation}
\subsubsection{放物形の場合}
$\alpha,\beta$の値に二次方程式$at^2+2bt+c=0\ (a\not=0)$の解を当てる。すなわち、$b^2-ac=0$であることからも重解（$\alpha=\beta$）であるため、$\beta$は$\alpha$に独立の任意の複素数と改める。この場合次のことが分かる。
\begin{eqnarray}
a_1=0,c_1\not=0&,&\hspace{2zw} b_1=2(ac-b^2)/a=0\\
c_1\frac{\partial^2 v}{\partial\eta^2}&=&q_1(\xi,\eta,v,v_\xi,v_\eta)
\end{eqnarray}
すなわち放物形の一般系は次のように表すことができる。
\begin{equation}
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=p_1(x,y,u,u_x,u_y),\ \mbox{または}\ %
\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=p_2(x,y,u,u_x,u_y)
\end{equation}
\subsubsection{双曲形の場合}
$\alpha,\beta$の値に二次方程式$at^2+2bt+c=0\ (a\not=0)$の解を当てる。すなわち、$b^2-ac>0$であることからも$\alpha,\beta$は異なる実数と分かる。同時に以下の内容に帰着する。
\begin{eqnarray}
a_1=c_1=0&,&\hspace{2zw} b_1=2(ac-b^2)/a\not=0\\
2b_1\frac{\partial^2 v}{\partial\xi\partial\eta}&=&q_1(\xi,\eta,v,v_\xi,v_\eta)
\end{eqnarray}
楕円形に類似することはわかりやすい。このとき次の一次変換を導入する。
\begin{equation}
\sigma=\xi+\eta,\hspace{2zw}\tau=\xi-\eta
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial\xi}&=&\frac{\partial\sigma}{\partial\xi}\frac{\partial}{\partial\sigma}+\frac{\partial\tau}{\partial\xi}\frac{\partial}{\partial\tau}=\frac{\partial}{\partial\sigma}+\frac{\partial}{\partial\tau}\\
\frac{\partial}{\partial\eta}&=&\frac{\partial}{\partial\sigma}-\frac{\partial}{\partial\tau}\\
\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\eta}&=&\frac{\partial^2}{\partial\sigma^2}-\frac{\partial^2}{\partial\tau^2}
\end{eqnarray}
したがって、$w(\sigma,\tau)=v(\xi,\eta)$としたとき一次変換の結果は次のように表される。
\begin{equation}
\frac{\partial^2w}{\partial\sigma^2}-\frac{\partial^2w}{\partial\tau^2}=q_2(\sigma,\tau,w,w_\sigma,w_\tau)
\end{equation}
すなわち双曲形の一般系は次のように表すことができる。
\begin{equation}
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=p(x,y,u,u_x,u_y)
\end{equation}
\subsubsection{演習問題}
次の偏微分方程式の標準形を求めよ。
\begin{enumerate}[(a)]
\item $u_{xx}+u_{xy}=u_x$
{\bf 解答例} 2次方程式$\lambda^2+\lambda=0$の解は0,-1と分かる（双曲形）。\\
次の一次変換を考える。
$$\xi=y,\hspace{2zw}\eta=-x+y$$
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial x}&=&\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial\eta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\eta}=-\frac{\partial}{\partial\eta}\\
\frac{\partial}{\partial y}&=&\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\eta}\\
\frac{\partial^2}{\partial x^2}&=&\frac{\partial^2}{\partial\eta^2}\\
\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}&=&-\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\eta}-\frac{\partial^2}{\partial\eta^2}
\end{eqnarray*}
であるため、$v(\xi,\eta)=u(x,y)$としたとき一次変換の結果は次のようになる。
$$v_{\xi\eta}=v_\eta$$
次の一次変換を考える。
$$\sigma=\xi+\eta,\hspace{2zw}\tau=\xi-\eta$$
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial\xi}&=&\frac{\partial\sigma}{\partial\xi}\frac{\partial}{\partial\sigma}+\frac{\partial\tau}{\partial\xi}\frac{\partial}{\partial\tau}=\frac{\partial}{\partial\sigma}+\frac{\partial}{\partial\tau}\\
\frac{\partial}{\partial\eta}&=&\frac{\partial}{\partial\sigma}-\frac{\partial}{\partial\tau}\\
\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\eta}&=&\frac{\partial^2}{\partial\sigma^2}-\frac{\partial^2}{\partial\tau^2}
\end{eqnarray*}
であるため、$w(\sigma,\tau)=v(\xi,\eta)$としたとき一次変換の結果は次のようになる。
$$w_{\sigma\sigma}-w_{\tau\tau}=w_\sigma-w_\tau$$
{\bf 解答終了}
\item $u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}=u_y$
{\bf 解答例} 二次方程式$\lambda^2+2\lambda+1=0$の解は$-1$(重解)と分かる（放物形）。\\
次の一次変換を考える。
$$\xi=-x+y,\hspace{2zw}\eta=y$$
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial x}&=&\frac{\partial\xi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial\eta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\eta}=-\frac{\partial}{\partial\xi}\\
\frac{\partial}{\partial y}&=&\frac{\partial}{\partial\xi}+\frac{\partial}{\partial\eta}\\
\frac{\partial^2}{\partial x^2}&=&\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}\\
\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}&=&-\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}-\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\eta}\\
\frac{\partial^2}{\partial y^2}&=&\frac{\partial^2}{\partial\xi^2}+2\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\eta}+\frac{\partial^2}{\partial\eta^2}
\end{eqnarray*}
であるため、$v(\xi,\eta)=u(x,y)$としたとき一次変換の結果は次のようになる。
$$v_{\eta\eta}=v_\xi+v_\eta$$
{\bf 解答終了}
\end{enumerate}
\newpage
\subsection{3次元直交曲線座標におけるLaplaceの演算子}
ここでは応用上重要な円柱座標系、極座標系に対するLaplaceの演算子について纏める。
\subsubsection{円柱座標系}
円柱座標系は次のように与えられる。
\begin{eqnarray}
x=\rho\cos \phi,\ y=\rho\sin \phi,\ z=z\\
(0\le\rho\le +\infty,\ 0\le\phi\le 2\pi,\ -\infty\le z\le +\infty) \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\rho=\sqrt{x^2+y^2},\hspace{2zw}\tan\phi=\frac{y}{x}
\end{equation}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\rho}{\partial x}=\frac{x}{\rho}&,\hspace{2zw}&\frac{\partial\rho}{\partial y}=\frac{y}{\rho}\\
\frac{\partial^2\rho}{\partial x^2}&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{\rho}\right)=\frac1{\rho}-\frac{x}{\rho^2}\frac{x}{\rho}\\
&=&\frac{y^2}{\rho^3}\\
\frac{\partial^2\rho}{\partial y^2}&=&\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{\rho}\right)=\frac1{\rho}-\frac{y}{\rho^2}\frac{y}{\rho}\\
&=&\frac{x^2}{\rho^3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\tan^{-1}\frac{y}{x}\right)&=&-\frac{y}{x^2}\frac{1}{1+(y/x)^2}\\
&=&-\frac{y}{\rho^2}\\
\frac{\partial\phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\tan^{-1}\frac{y}{x}\right)&=&\frac1{x}\frac{1}{1+(y/x)^2}\\
&=&\frac{x}{\rho^2}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{y}{\rho^2}\right)&=&2\frac{y}{\rho^3}\frac{x}{\rho}\\
&=&\frac{2xy}{\rho^4}\\
\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{\rho^2}\right)&=&-2\frac{x}{\rho^3}\frac{y}{\rho}\\
&=&-\frac{2xy}{\rho^4}
\end{eqnarray*}
したがって、
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial\rho}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{x}{\rho}\frac{\partial u}{\partial\rho}-\frac{y}{\rho^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2u}{\partial x^2}&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial\rho}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial}{\partial z}\right) u \nonumber \\
&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial\rho}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) u \nonumber \\
&=&\frac{\partial^2\rho}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial\rho}{\partial x}\left(\frac{\partial\rho}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\left(\frac{\partial\rho}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\frac{\partial u}{\partial\phi} \nonumber \\
&=&\left(\frac{\partial\rho}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2u}{\partial\rho^2}+2\frac{\partial\rho}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial^2 u}{\partial\rho\partial\phi}+\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2\rho}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial\phi} \nonumber \\
&=&\frac{x^2}{\rho^2}\frac{\partial^2u}{\partial\rho}-\frac{2xy}{\rho^3}\frac{\partial^2 u}{\partial\rho\partial\phi}+\frac{y^2}{\rho^4}\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}+\frac{y^2}{\rho^3}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{2xy}{\rho^4}\frac{\partial u}{\partial\phi}
\end{eqnarray}
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial\rho}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{y}{\rho}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{x}{\rho^2}\frac{\partial u}{\partial\rho}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}&=&\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial\rho}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) u \nonumber \\
&=&\frac{\partial^2\rho}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial\rho}{\partial y}\left(\frac{\partial\rho}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\left(\frac{\partial\rho}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\rho}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\phi}\right)\frac{\partial u}{\partial\phi} \nonumber \\
&=&\left(\frac{\partial\rho}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2u}{\partial\rho^2}+2\frac{\partial\rho}{\partial y}\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial^2 u}{\partial\rho\partial\phi}+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2\rho}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial\phi} \nonumber \\
&=&\frac{y^2}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\rho^2}+\frac{2xy}{\rho^3}\frac{\partial^2 u}{\partial\rho\partial\phi}+\frac{x^2}{\rho^4}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}+\frac{x^2}{\rho^3}\frac{\partial u}{\partial\rho}-\frac{2xy}{\rho^4}\frac{\partial u}{\partial\phi}
\end{eqnarray}
したがってLaplaceの演算子は次のように表すことができる。
\begin{equation}
\Delta\equiv\frac{\partial^2 u}{\partial\rho^2}+\frac1{\rho}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac1{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
\end{equation}
\newpage
\subsubsection{極座標系}
極座標系は次のように与えられる。
\begin{eqnarray}
x=r\cos \phi\sin \theta,\ y=r\sin \phi\sin \theta,\ z=r\cos \theta\\
(0\le r\le +\infty,\ 0\le\phi\le 2\pi,-\pi\le \theta\le +\pi) \nonumber
\end{eqnarray}
\begin{equation}
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\hspace{2zw}\tan\phi=\frac{y}{x},\hspace{2zw}\cos \theta=\frac{z}{r}
\end{equation}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}&,\hspace{2zw}&\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\hspace{2zw}\frac{\partial z}{\partial r}=\frac{z}{r}\\
\frac{\partial^2 r}{\partial x^2}&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r}\right)=\frac1{r}-\frac{x}{r^2}\frac{x}{r}\\
&=&\frac{y^2+z^2}{r^3}\\
\frac{\partial^2 r}{\partial y^2}&=&\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r}\right)=\frac1{r}-\frac{y}{r^2}\frac{y}{r}\\
&=&\frac{x^2+z^2}{r^3}\\
\frac{\partial^2 r}{\partial z^2}&=&\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r}\right)=\frac1{r}-\frac{z}{r^2}\frac{z}{r}\\
&=&\frac{x^2+y^2}{r^3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\phi}{\partial x}&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\right)=-\frac{y}{x^2}\frac{1}{1+(y/x)^2}\\
&=&-\frac{y}{x^2+y^2}\\
\frac{\partial\phi}{\partial y}&=&\frac{\partial}{\partial y}\left(\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\right)=\frac1{x}\frac{1}{1+(y/x)^2}\\
&=&\frac{x}{x^2+y^2}\\
\frac{\partial\phi}{\partial z}&=&0
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\phi^2}{\partial x^2}&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right)=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\\
\frac{\partial\phi^2}{\partial y^2}&=&\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\theta}{\partial x}&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(\cos^{-1}{\frac{z}{r}}\right)=-\frac{z}{r^2}\frac{x}{r}\cdot -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{z}{r}\right)^2}}\\
&=&\frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\
\frac{\partial\theta}{\partial y}&=&\frac{\partial}{\partial y}\left(\cos^{-1}{\frac{z}{r}}\right)=-\frac{z}{r^2}\frac{y}{r}\cdot -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{z}{r}\right)^2}}\\
&=&\frac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\
\frac{\partial\theta}{\partial z}&=&\frac{\partial}{\partial z}\left(\cos^{-1}{\frac{z}{r}}\right)=\left(\frac1{r}-\frac{z}{r^2}\frac{z}{r}\right)\cdot -\frac1{\sqrt{1-\left(\frac{z}{r}\right)^2}}\\
&=&-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r^2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\frac{z}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x}{r}\frac{2xz}{r^3\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2z}{r^2(x^2+y^2)^\frac32}\\
&=&\frac{(y^4-x^2y^2+y^2z^2-2x^4)z}{r^4(x^2+y^2)^\frac32}\\
\frac{\partial^2\theta}{\partial y^2}&=&\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\frac{z}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y}{r}\frac{2yz}{r^3\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y^2z}{r^2(x^2+y^2)^\frac32}\\
&=&\frac{(x^4-x^2y^2+x^2z^2-2y^4)z}{r^4(x^2+y^2)^\frac32}\\
\frac{\partial^2\theta}{\partial z^2}&=&\frac{\partial}{\partial z}\left(-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r^2}\right)=\frac{2z\sqrt{x^2+y^2}}{r^4}
\end{eqnarray*}
したがって、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial u}{\partial x}&=&\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial\theta} \nonumber \\
&=&\frac{x}{r}\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{y}{x^2+y^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial u}{\partial\theta}\\
\frac{\partial u}{\partial x}&=&\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial\theta} \nonumber \\
&=&\frac{y}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{x}{x^2+y^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial u}{\partial\theta}\\
\frac{\partial u}{\partial x}&=&\frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial u}{\partial\theta} \nonumber \\
&=&\frac{z}{r}\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r^2}\frac{\partial u}{\partial\theta}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)u \nonumber \\
&=&\frac{\partial^2 r}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial\theta}+\frac{\partial r}{\partial x}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\frac{\partial u}{\partial r} \nonumber \\
&&{}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial x}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\frac{\partial u}{\partial\theta} \nonumber \\
&=&\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}+\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial\theta^2} \nonumber \\
&&{}+2\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial^2 u}{\partial r\partial\phi}+2\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi\partial\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi\partial\theta}+2\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial^2 u}{\partial\theta\partial r} \nonumber \\
&&{}+\frac{\partial^2 r}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial\theta}\\
&=&\frac{x^2}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{y^2}{(x^2+y^2)^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}+\frac{x^2z^2}{r^4(x^2+y^2)}\frac{\partial^2 u}{\partial\theta^2} \nonumber \\
&&{}-\frac{2xy}{r(x^2+y^2)}\frac{\partial^2 u}{\partial r\partial\phi}-\frac{2xyz}{r^2(x^2+y^2)^\frac32}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi\partial\theta}+\frac{2x^2z}{r^3\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial^2 u}{\partial\theta\partial r} \nonumber \\
&&{}+\frac{y^2+z^2}{r^3}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{(y^4-x^2y^2+y^2z^2-2x^4)z}{r^4(x^2+y^2)^\frac32}\frac{\partial u}{\partial\theta}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}&=&\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)u \nonumber \\
&=&\frac{\partial^2 r}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial^2\theta}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial\theta}+\frac{\partial r}{\partial y}\left(\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\frac{\partial u}{\partial r} \nonumber \\
&&{}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\left(\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial y}\left(\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\frac{\partial u}{\partial\theta} \nonumber \\
&=&\left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}+\left(\frac{\partial\theta}{\partial y}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial\theta^2} \nonumber \\
&&{}+2\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial^2 u}{\partial r\partial\phi}+2\frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi\partial\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi\partial\theta}+2\frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial^2 u}{\partial\theta\partial r} \nonumber \\
&&{}+\frac{\partial^2 r}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial^2\theta}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial\theta}\\
&=&\frac{y^2}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{x^2}{(x^2+y^2)^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}+\frac{y^2z^2}{r^4(x^2+y^2)}\frac{\partial^2 u}{\partial\theta^2} \nonumber \\
&&{}+\frac{2xy}{r(x^2+y^2)}\frac{\partial^2 u}{\partial r\partial\phi}+\frac{2xyz}{r^2(x^2+y^2)^\frac32}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi\partial\theta}+\frac{2y^2z}{r^3\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial^2 u}{\partial\theta\partial r} \nonumber \\
&&{}+\frac{z^2+x^2}{r^3}\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{(x^4-x^2y^2+x^2z^2-2y^4)z}{r^4(x^2+y^2)^\frac32}\frac{\partial u}{\partial\theta}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}&=&\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)u \nonumber \\
&=&\frac{\partial^2 r}{\partial z^2}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^2\theta}{\partial z^2}\frac{\partial u}{\partial\theta}+\frac{\partial r}{\partial z}\left(\frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\frac{\partial u}{\partial r} \nonumber \\
&&{}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\left(\frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\frac{\partial u}{\partial\phi}+\frac{\partial\theta}{\partial z}\left(\frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\frac{\partial u}{\partial\theta} \nonumber \\
&=&\left(\frac{\partial r}{\partial z}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\left(\frac{\partial\theta}{\partial z}\right)^2\frac{\partial^2 u}{\partial\theta^2}+2\frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial^2 u}{\partial\theta\partial r}+\frac{\partial^2 r}{\partial z^2}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{\partial^2\theta}{\partial z^2}\frac{\partial u}{\partial\theta} \\
&=&\frac{z^2}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial^2 r}+\frac{x^2+y^2}{r^4}\frac{\partial^2 u}{\partial\theta^2}-\frac{2z\sqrt{x^2+y^2}}{r^3}\frac{\partial^2 u}{\partial r\partial\theta}+\frac{x^2+y^2}{r^3}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{2\sqrt{x^2+y^2}}{r^3}\frac{\partial u}{\partial\theta}
\end{eqnarray}
\newpage
\begin{eqnarray}
\Delta&=&\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac1{x^2+y^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}+\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac2{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{z^3}{r^4\sqrt{x^2+y^2}}\frac{\partial}{\partial\theta} \nonumber \\
&=&\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac2{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{\cos \theta}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac1{r^2\sin^2 \theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \nonumber \\
&=&\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\left[\frac1{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin \theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right]
\end{eqnarray}
\subsection{変数分離法}
2階線形偏微分方程式の解を求める方法のひとつ変数分離法について、実際にLaplaceの方程式について円柱座標系や極座標系を導入した変数分離法を用いて求める。
\subsubsection{円柱座標系を用いた場合}
円柱座標系におけるLaplaceの方程式は以下の通りである。
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial\rho^2}+\frac1{\rho}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac1{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0
\end{equation}
$u=u(\rho, \phi, z)$が以下の通りに変数分離できると仮定する。
\[
u=R(\rho)\varPhi(\phi)Z(z)
\]
このときLaplaceの方程式は以下の通りに式変形することができる。
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}R(\rho)\varPhi(\phi)Z(z)+\frac1{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}R(\rho)\varPhi(\phi)Z(z)+\frac1{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}R(\rho)\varPhi(\phi)Z(z)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}R(\rho)\varPhi(\phi)Z(z)&=&0\\
\varPhi(\phi)Z(z)\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}R(\rho)+\frac1{\rho}\varPhi(\phi)Z(z)\frac{\partial}{\partial\rho}R(\rho)+\frac1{\rho^2}R(\rho)Z(z)\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\varPhi(\phi)+R(\rho)\varPhi(\phi)\frac{\partial^2}{\partial z^2}Z(z)&=&0\\
\frac1{R(\rho)}\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}R(\rho)+\frac1{R(\rho)}\frac1{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}R(\rho)+\frac1{\varPhi(\phi)}\frac1{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\varPhi(\phi)+\frac1{Z(z)}\frac{\partial^2}{\partial z^2}Z(z)&=&0\\
\frac{R''}{R}+\frac1{\rho}\frac{R'}{R}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\varPhi''}{\varPhi}+\frac{Z''}{Z}=0
\end{eqnarray*}
\begin{equation*}
\rho^2\left[\frac{R''}{R}+\frac1{\rho}\frac{R'}{R}+\frac{Z''}{Z}\right]=-\frac{\varPhi''}{\varPhi}
\end{equation*}
上式において右辺は$\phi$のみの関数であり、左辺は$\rho$と$z$のみの関数である。両辺の値が$\rho,\phi,z$に従わずに一定である（この値を$m^2$）ことより、次のように二分できることが分かる。
\begin{eqnarray*}
\varPhi''+m^2\varPhi&=&0\\
\frac{R''}{R}+\frac1{\rho}\frac{R'}{R}-\frac{m^2}{\rho^2}&=&-\frac{Z''}{Z}
\end{eqnarray*}
後者の式もまた二分することができる（この値を$-a^2$とおく）。したがって各変数ごとの２階常微分方程式に分けて考えることができることがわかる。またこのとき導入した$m,a$は分離定数と呼ばれる。
\begin{eqnarray}
\varPhi''+m^2\varPhi&=&0\\
Z''&=&a^2 Z\\
\rho^2R''+\rho R'+(a^2\rho^2-m^2)R&=&0
\end{eqnarray}
$\varPhi$の基本解は$\cos{m\phi}$、$\sin{m\phi}$であり、$Z$の基本解は$\cosh{az}$、$\sinh{az}$である。また$R$については変数$a\rho$（ただし$a$は定数）についてBesselの微分方程式の解であることが分かる。よって基本解は$J_m(a\rho)$、$Y_m(a\rho)$である。
\vspace{2em}
円柱座標系を用いた波動の方程式は以下のように表される。
\begin{equation}
\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{\partial^2u}{\partial\rho^2}+\frac1{\rho}\frac{\partial u}{\partial\rho}+\frac1{\rho^2}\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)
\end{equation}
$u=u(\rho, \phi, z, t)$が以下の通りに変数分離できると仮定する。
\[
u=T(t)R(\rho)\varPhi(\phi)Z(z)
\]
このとき波動の方程式は以下のように変形することができる。
\begin{equation}
\frac{T''}{T}=c^2\left\{\frac{R''}{R}+\frac1{\rho}\frac{R'}{R}+\frac1{\rho^2}\frac{\varPhi''}{\varPhi}+\frac{Z''}{Z}\right\}
\end{equation}
分離定数を$-c^2k^2$とおくと方程式は次のように二分できる。
\begin{eqnarray*}
T''&=&-c^2k^2T\\
\frac{Z''}{Z}&=&-k^2-\frac{R''}{R}-\frac1{\rho}\frac{R'}{R}-\frac1{\rho^2}\frac{\varPhi''}{\varPhi}
\end{eqnarray*}
後者の分離定数を$-a^2$とおくと再び二分することができる。
\begin{eqnarray*}
Z''&=&-a^2Z\\
\rho^2\frac{R''}{R}+\rho\frac{R'}{R}+\rho^2(k^2-a^2)&=&-\frac{\varPhi''}{\varPhi}
\end{eqnarray*}
後者の分離定数を$m^2$とおくと再び二分することができる。
\begin{eqnarray*}
\varPhi''&=&-m^2\varPhi\\
\rho^2R''+\rho R'+\left\{\rho^2(k^2-a^2)-m^2\right\}R&=&0
\end{eqnarray*}
$T$の基本解は、$\cos{ckt}$、$\sin{ckt}$であり、$Z$の基本解は$\cos{az}$、$\sin{az}$であり、$\varPhi$の基本解は$\cos{m\phi}$、$\sin{m\phi}$である。また$R$については変数$\sqrt{k^2-a^2}\rho$（ただし$a,k$ともに定数）についてBesselの微分方程式の解であることが分かる。よって基本解は$J_m(\sqrt{k^2-a^2}\rho)$、$Y_m(\sqrt{k^2-a^2}\rho)$である。
\begin{boxnote}
\subsection*{Besselの微分方程式について}
特殊関数（$\Gamma$関数、Legendre関数など）に属するものである。$x$を実変数、$\nu$を実定数としたとき、
\vspace{-8pt}
\begin{equation}
x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}+x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+(x^2-\nu^2)y=0
\end{equation}
を$\nu$次のBesselの微分方程式といい、Bessel関数はこの一般解全般をいう。
\subsection*{Bessel関数の種類}
\begin{enumerate}[(i)]
\item 第一種のBessel関数 $J_\nu(x)$\\
級数解表現で定義される。
\vspace{-8pt}
\begin{equation}
J_\nu(x)=\left(\frac{x}2\right)^\nu\sum_{l=0}^{+\infty}\frac{(-1)^l}{l!\Gamma(\nu+l+1)}\left(\frac{x}2\right)^{2l}
\end{equation}
$\nu\not=$整数のとき、$J_\nu(x)$と$J_{-\nu}(x)$とは独立であるため$y=C_1J_\nu(x)+C_2J_{-\nu}(x)\ \mbox{($\nu\not=$整数)}$はBesselの微分方程式の一般解である。
\item 第二種のBessel関数（別名、$\nu$次のNeumann関数） $Y_\nu(x)$\\
第一種のBessel関数を用いて定義される（特殊解の一種）。
\vspace{-8pt}
\begin{equation}
Y_\nu(x)=\frac1{\sin{\nu\pi}}(\cos{\nu\pi}J_\nu(x)-J_{-\nu}(x))\ \mbox{($\nu\not=$整数)}
\end{equation}
$\nu\to n$（整数）の際にも$Y_n(x)$として定義される。
\item 第三種のBessel関数 $H_\nu^{(1)}(x)$：第一種のHankel関数、$H_\nu^{(2)}(x)$：第二種のHankel関数
\begin{equation}
H_\nu^{(1)}(x)=J_\nu(x)+iY_\nu(x),\hspace{2zw}H_\nu^{(2)}(x)=J_\nu(x)-iY_\nu(x)
\end{equation}
\end{enumerate}
\subsection*{Bessel関数の特徴}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Bessel展開というものがある。
$[0,1]$で定義された区分的に滑らかな関数$f(x)$は次のようにBessel展開できる
\vspace{-8pt}
\begin{equation}
f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}A_kJ_n(\lambda_kx)
\end{equation}
ここで展開係数$A_k$は次のように表される。
\vspace{-8pt}
\begin{equation}
A_k=\frac2{\left[J_{n+1}(\lambda_k)\right]^2}\int_0^1f(x)J_n(\lambda_kx)x\,\mathrm dx
\end{equation}
\item 球Bessel関数(spherical Bessel function)\\
次のように定義される。
\vspace{-8pt}
\begin{eqnarray}
j_n(x)&=&\sqrt\frac{\pi}{2x}J_{n+\frac12}(x)\\
&=&(-1)^nx^n\left(\frac1{x}\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^n\frac{\sin x}{x}
\end{eqnarray}
解析的に表すことができるため、Besselの微分方程式の解として一般的によく多用される。
\end{enumerate}
\end{boxnote}
\subsubsection{極座標を用いた場合}
極座標系におけるLaplaceの演算子について次式の通りである。
\begin{equation}
\Delta u\equiv \frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\left[\frac1{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin \theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}\right]
\end{equation}
$u=u(r, \theta, \phi)$が以下の通りに変数分離できると仮定する。
\[
u=R(r)\varTheta(\theta)\varPhi(\phi)
\]
このとき次のように纏めることができる。
\begin{equation}
\frac{\Delta u}{u}=\frac{R''}{R}+\frac2{r}\frac{R'}{R}+\frac1{r^2}\left[\frac{\varTheta''}{\varTheta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\frac{\varTheta'}{\varTheta}+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\varPhi''}{\varPhi}\right]
\end{equation}
$\mu=\cos \theta$とおき、$\varTheta(\theta)=M(\mu)$とした場合次のように変形することができる。
\begin{eqnarray*}
\varTheta'&=&\frac{\mathrm d\varTheta}{\mathrm d\theta}\\
&=&\frac{\mathrm d\varTheta}{\mathrm d\mu}\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\theta}\ =\ \frac{\mathrm dM}{\mathrm d\mu}(-\sin \theta)\\
&=&-\sin \theta M'\\
\varTheta''&=&-\cos \theta M'-\sin \theta \frac{\mathrm dM'}{\mathrm d\theta}\\
&=&-\cos \theta M'-\sin \theta \frac{\mathrm dM'}{\mathrm d\mu}\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\theta}\\
&=&\sin^2\theta M''-\cos \theta M'
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray}
\frac{\varTheta''}{\varTheta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\frac{\varTheta'}{\varTheta}+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\varPhi''}{\varPhi}&=&\frac{\sin^2\theta M''-\cos \theta M'}{M}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\frac{-\sin \theta M'}{M}+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\varPhi''}{\varPhi} \nonumber \\
&=&\sin^2\theta\frac{M''}{M}-2\cos \theta\frac{M'}{M}+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\varPhi''}{\varPhi} \nonumber \\
&=&(1-\mu^2)\frac{M''}{M}-2\mu\frac{M'}{M}+\frac1{1-\mu^2}\frac{\varPhi''}{\varPhi}
\end{eqnarray}
極座標系においてLaplaceの方程式は次式のとおりに表現される。
\begin{equation}
r^2\frac{R''}{R}+2r\frac{R'}{R}+(1-\mu^2)\frac{M''}{M}-2\mu\frac{M'}{M}+\frac1{1-\mu^2}\frac{\varPhi''}{\varPhi}=0
\end{equation}
上式は次のように変形することができる。
\begin{equation}
(1-\mu^2)\left[r^2\frac{R''}{R}+2r\frac{R'}{R}+(1-\mu^2)\frac{M''}{M}-2\mu\frac{M'}{M}\right]=-\frac{\varPhi''}{\varPhi}
\end{equation}
分離定数を$m^2$（$m$は整数）とおくと次のように二分される。
\begin{eqnarray*}
\varPhi''&=&-m^2\varPhi\\
-r^2\frac{R''}{R}-2r\frac{R'}{R}&=&(1-\mu^2)\frac{M''}{M}-2\mu\frac{M'}{M}-\frac{m^2}{1-\mu^2}
\end{eqnarray*}
後者の分離定数を$-n(n+1)$（$n$は0または自然数）とおくと次のように二分される。
\begin{eqnarray*}
r^2R''+2rR'+n(n+1)R&=&0\\
(1-\mu^2)M''-2\mu M'+\left[n(n+1)-\frac{m^2}{1-\mu^2}\right]M&=&0
\end{eqnarray*}
$\varPhi$の基本解は$\cos{m\phi}$と$\sin{m\phi}$であり、$R$の基本解は$R^n$と$R^{-(n+1)}$である。$M$についての２階常微分方程式はLegendreの陪微分方程式である。したがって、$M$の基本解は$P_n^m(\mu)$と$Q_n^m(\mu)$といえる。
ここで$(\theta,\phi)$についてのある偏微分方程式をしめす。
\begin{equation}
\frac1{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin \theta\frac{\partial Y_n}{\partial\theta}\right)+\frac1{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y_n}{\partial\phi^2}+n(n+1)Y_n=0
\end{equation}
上式の解$Y_n(\theta,\phi)$は$n$次の球面調和関数という。具体的には以下の$2n+1$になる。
\[
P_n(\cos \theta),\ \cos{m\phi}P_n^m(\cos \theta)\ (n=1,2,3,\ldots,n),\ \sin{m\phi}P_n^m(\cos \theta)\ (n=1,2,3,\ldots,n)
\]
\vspace{2em}
極座標を用いた熱伝導の方程式は以下の通りである。
\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t}=k\left[\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac1{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin \theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)+\frac1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}\right]
\end{equation}
$u=u(r, \mu, \phi, t)$が以下の通りに変数分離できるものと仮定する。
\[
u=T(t)R(r)M(\mu)\varPhi(\phi)
\]
このとき熱伝導の方程式は以下の通りに変形することができる。
\begin{equation}
\frac{T'}{T}=k\left[\frac1{r^2R}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}(r^2R')+\frac1{r^2M}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\mu}\left\{(1-\mu^2)M'\right\}+\frac1{r^2(1-\mu^2)}\frac{\varPhi''}{\varPhi}\right]
\end{equation}
分離定数を$-k\kappa^2$とおくと次のように二分される。
\begin{eqnarray*}
T'&=&-k\kappa^2T\\
(1-\mu^2)\left[\frac1{R}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}(r^2R')+\frac1{M}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\mu}\left\{(1-\mu^2)M'\right\}+r^2\kappa^2\right]&=&-\frac{\varPhi''}{\varPhi}
\end{eqnarray*}
後者の分離定数を$m^2$（$m$は整数）としたとき次のように二分される。
\begin{eqnarray*}
\varPhi''&=&-m^2\varPhi\\
-\frac1{R}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}(r^2R')-r^2\kappa^2&=&\frac1{M}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\mu}\left\{(1-\mu^2)M'\right\}-\frac{m^2}{1-\mu^2}
\end{eqnarray*}
後者の分離定数を$-n(n+1)$（$n$は0または自然数）としたとき次のように二分される。
\begin{eqnarray*}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}(r^2R')+\left\{r^2\kappa^2-n(n+1)\right\}R&=&0\\
\frac{\mathrm d}{\mathrm d\mu}\left\{(1-\mu^2)M'\right\}+\left\{n(n+1)-\frac{m^2}{1-\mu^2}\right\}M&=&0
\end{eqnarray*}
前者はBesselの微分方程式であるため$R$の基本解は$j_n(\kappa r)$、$n_n(\kappa r)$(球Neumman関数と呼ぶ)であり、後者はLegendreの陪微分方程式であるため$M$の基本解は$P_n^m(\mu)$、$Q_n^m(\mu)$である。また$T$の基本解は$e^{-k\kappa t}$であり、$\varPhi$の基本解は$\cos{m\phi}$、$\sin{m\phi}$である。
\begin{boxnote}
\subsection*{Legendreの陪微分方程式について}
Legendreの陪微分方程式は以下の通りである。
\vspace{-8pt}
\begin{equation}
(1-x^2)\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-2x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+\left\{n(n+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right\}y=0
\end{equation}
ここで$m,n$は0または自然数として$m\leq n$を満たすものとする。
\subsection*{Legendre関数について}
最初にLegendre関数について纏める。Legendre関数は以下の微分方程式の解で定義される。
\vspace{-8pt}
\begin{equation}
(1-x^2)\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-2x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+n(n+1)y=0
\end{equation}
この方程式の級数解は以下の通りである。
\begin{enumerate}[(a)]
\item 第一種のLegendre関数
\vspace{-8pt}
\begin{equation}
P_n(x)=\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}\left\{x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}+\ldots\right\}
\end{equation}
\item 第二種のLegendre関数
\vspace{-8pt}
\begin{equation}
Q_n(x)=\frac{2^n(n!)^2}{(2n+1)!}\left\{x^n-\frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}\frac1{x^{n+1}}+\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}\frac1{x^{n+3}}+\ldots\right\}
\end{equation}
\end{enumerate}
Rodriguesの公式を用いると考えやすい。
\vspace{-8pt}
\begin{equation}
P_n(x)=\frac1{2^nn!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}(x^2-1)^n
\end{equation}
\subsection*{Legendreの陪関数}
さてLegendreの陪関数であるが、Legendreの陪微分方程式の解として定義されるが、次の変数変換を行うことでLgendreの微分方程式に変形することができる。
\vspace{-8pt}
\[
y=(1-x^2)^\frac{m}2\frac{\mathrm d^mw}{\mathrm dx^m}
\]
Legendreの陪関数は以下の二種類がある。
\[
P_n^m(x)=(1-x^2)^\frac{m}2\frac{\mathrm d^m P_n(x)}{\mathrm dx^m}\hspace{2zw}Q_n^m(x)=(1-x^2)^\frac{m}2\frac{\mathrm d^m Q_n(x)}{\mathrm dx^m}
\]
それぞれ、第一種のLegendreの陪関数、第二種のLegendreの陪関数と呼ぶ。
\end{boxnote}
\newpage
\subsubsection{演習問題}
極座標系を用いた波動方程式は以下の通りである。
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\left[\frac1{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac1{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin \theta\frac{\partial u}{\partial\theta}\right)+\frac1{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}\right]
\end{equation}
$u=u(r, \mu, \phi, t)$が以下の通りに変数分離できるものと仮定する。
\[
u=T(t)R(r)M(\mu)\varPhi(\phi)
\]
このとき波動方程式は以下の通りに変形することができる。
\begin{equation}
\frac{T''}{T}=c^2\left[\frac1{r^2R}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}(r^2R')+\frac1{r^2M}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\mu}\left\{(1-\mu^2)M'\right\}+\frac1{r^2(1-\mu^2)}\frac{\varPhi''}{\varPhi}\right]
\end{equation}分離定数を$-c^2\kappa^2$としたとき次のように二分される。
\begin{eqnarray*}
T''&=&-c^2\kappa^2T\\
(1-\mu^2)\left[\frac1{R}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}(r^2R')+\frac1{M}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\mu}\left\{(1-\mu^2)M'\right\}+r^2\kappa^2\right]&=&-\frac{\varPhi''}{\varPhi}
\end{eqnarray*}
あとは熱伝導の方程式を解いたときと同様である。
したがって、$R$の基本解は$j_n(\kappa r)$、$n_n(\kappa r)$であり、$M$の基本解は$P_n^m(\mu)$、$Q_n^m(\mu)$であり、$\varPhi$の基本解は$\cos{m\phi}$、$\sin{m\phi}$であり、$T$の基本解は$\cos{c\kappa t}$、$\sin{c\kappa t}$である。
\subsection{参考文献}
培風館、堀口剛・海老澤丕道・福井芳彦 共著、応用数学講義［初版］、2000
\end{document}
